Transformada de fourier para tontos

Transformada de Fourier ejemplos fáciles

Los antiguos griegos tenían la teoría de que el sol, la luna y los planetas se movían alrededor de la Tierra en círculos. Pronto se demostró que esta teoría era errónea. El problema era que si se observaban los planetas con atención, a veces se movían hacia atrás en el cielo. Así que Ptolomeo propuso una nueva idea: los planetas se mueven en un gran círculo, pero luego se mueven en un pequeño círculo al mismo tiempo. Piensa en sostener un palo largo y girar alrededor, y al mismo tiempo en el extremo del palo hay una rueda que está girando. El planeta se mueve como un punto en el borde de la rueda.

Esta idea de los «epiciclos» resulta ser una mala teoría. Una de las razones por las que es mala es que ahora sabemos que los planetas orbitan en elipses alrededor del sol. (Las elipses no son perfectas porque están perturbadas por la influencia de otros cuerpos gravitatorios y por efectos relativistas).

En el vídeo, sumando suficientes círculos, hicieron que un planeta trazara la cara de Homer Simpson. Resulta que podemos hacer cualquier órbita sumando suficientes círculos, siempre que consigamos variar su tamaño y velocidad.

Transformada de Fourier 3blue1brown

Como biólogo computacional que estudia los ritmos circadianos, a menudo me encuentro analizando datos de series temporales. Principalmente, puedo observar la expresión de un gen o biomarcador a lo largo del día, como los niveles de melatonina que se ven en la imagen de abajo. A menudo, es útil cuantificar diferentes aspectos de un determinado marcador circadiano, como la frecuencia, el período y la amplitud de la oscilación de las señales. Aunque en la imagen de abajo podría ser fácil leer estas mediciones a ojo, en realidad, estoy trabajando con 11.000-20.000 marcadores a la vez. Naturalmente, las cosas se complican y consumen demasiado tiempo para hacerlas a mano.

Por ello, mis investigaciones me han llevado a aprender algunas matemáticas que permiten calcular automáticamente estas mediciones de amplitud, frecuencia y periodo mediante un ordenador. Una de las posibles soluciones que voy a explicar hoy viene en forma de un tipo de matemáticas conocidas como Transformadas de Fourier.

Aunque las transformadas de Fourier se desarrollaron originalmente para resolver problemas relacionados con la transferencia de calor en el campo de la física, las matemáticas que las sustentan han encontrado muchos usos en la biología, la robótica, las finanzas e incluso la industria musical. Básicamente, creo que las transformadas de Fourier son una forma de matemáticas increíblemente interesante y útil, por lo que mi objetivo en este artículo será compartir con ustedes lo que me parece tan fascinante de una manera que espero sea comprensible y ayude a desarrollar una intuición sobre su funcionamiento.

Análisis de Fourier

La transformada de Fourier sustenta gran parte de nuestra vida tecnológica, en la mayoría de los casos probablemente sin que nos demos cuenta. La capacidad de dividir matemáticamente una forma de onda en sus componentes de frecuencia y viceversa sustenta gran parte del campo del procesamiento digital de señales, y el DSP se ha convertido en una parte esencial de muchos dispositivos electrónicos que damos por sentado.

Pero aunque la mayoría de nosotros sabe lo que es una transformada de Fourier, son menos los que saben cómo funciona. Se trata de una función llamada desde una biblioteca más que de una función en sí misma. Incluso cuando se enseñan en las escuelas o en los cursos universitarios, siguen siendo algo que no todos los estudiantes «entienden», y pobre de ti si (como tu escriba) tienes un profesor de matemáticas deficiente.

Si las transformadas de Fourier son un misterio para usted, vale la pena ver el vídeo que aparece a continuación. En él [Grant Sanderson] las explica a través de una serie de sencillos ejemplos gráficos con un estilo que tal vez los profesores de matemáticas de tiza y charla deberían emular. Es posible que siga utilizando las transformadas de Foruier sólo a través de una biblioteca, pero después de ver este vídeo quizá se revelen algunos de sus misterios.

Youtube transformada discreta de Fourier

Esto es lo que me ha hecho `clic’: http://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-…Ever desde que encontré Better Explained lo he recomendado a cualquiera que quiera obtener una intuición real de los conceptos matemáticos de nivel secundario / universitario.

Gracias por eso – parece un sitio interesante para todo tipo de temas relacionados con las matemáticas.Encontré otra página que me pareció que ofrece una buena visión general de la transformada de Fourier y varios usos prácticos, sin entrar en los detalles de la implementación real – http://nautil.us/blog/the-math-trick-behind-mp3s-jpegs-and-h…

Esto es lo que me hizo clic para mí … incluso después de aprenderlos 4 o 5 veces es variadas clases de cálculo. De hecho llegué a los comentarios aquí esperando que alguien hubiera puesto el enlace porque lo perdí.

…porque confunde la presentación de la base [gemido] de la transformada de Fourier a través de conceptos ya entendidos con la demostración de una propiedad incidental de la transformada de Fourier.Lo que me molesta del ejemplo del epiciclo en particular es que no queda claro (a partir del ejemplo) cuál es el dominio de la función que estamos tratando de aproximar, y qué restricciones, si es que hay alguna, hay que poner en la función. Por ejemplo, ¿está bien que la función se cruce a sí misma? ¿Puedo representar una forma arbitraria en 2D con este método? ¿Qué pasa si la línea tiene que saltar? ¿Está bien o no? ¿Es accidental, o a propósito, que la línea vuelva a encontrarse consigo misma al final? ¿Por qué la función que representamos (en el ejemplo del epiciclo) está en 2D pero solemos tomar la transformada de Fourier de funciones en 1D? ¿Dónde están los números complejos? ¿Qué es la exponenciación compleja? ¿Qué es una integral? El ejemplo de la onda cuadrada lo hace mejor. Puedes usar simplemente senos o cosenos puros, así que no tienes que introducir números complejos. No tienes el problema de 2D vs. 1D. No necesitas una integral. Por otro lado, me gusta mucho el ejemplo del epiciclo como ejemplo de aprendizaje automático o base dispersa. Es decir, explicar que se puede ajustar cualquier cosa si se tienen suficientes grados de libertad. Después de la transformada de Fourier ya se entiende por otros medios.